Matematikçiler ona yeni bir şekil vererek “tekerleği yeniden icat ediyorlar”. Bu çığır açan buluş, hayal edemeyeceğimiz boyutlarda nesnelerin nasıl inşa edileceğini göstererek onlarca yıllık bir geometri problemini de çözüyor.
Tekerleklerin yuvarlanabilmesinin nedeni, “sabit genişlik” özelliğine sahip olmalarıdır. Yani hangi açıdan bakılırsa bakılsın aynı genişlikte görünürler. Bu geometrik özellik, tekerleğin hareket ederken iki paralel düzlem arasındaki mesafeyi sabit tutmasını sağlar.
Örneğin yer ile bir aracın alt yüzeyi arasındaki mesafe bu sayede değişmez. Daha genel bir ifadeyle, bir şekil sallanmadan düzgün biçimde yuvarlanabiliyorsa sabit genişliğe sahiptir.
Bunu somutlaştırmak için bir tenis topunu iki paralel elinizin arasına alıp döndürdüğünüzü düşünün. Topu nasıl çevirirseniz çevirin, elleriniz arasındaki mesafe değişmez. Çünkü top sabit genişlikli bir cisimdir. Buna karşılık yumurta gibi uzamış bir şekil aynı davranışı göstermez.
Döndürdükçe genişliği değişir ve bu yüzden düzgün biçimde yuvarlanamaz. Aşağıdaki görselde sabit bir genişliğe sahip olan ( solda) ya da olmayan ( sağda) geometrik şekilleri görebilirsiniz.
Çember ve küre, sabit genişlikli şekillerin en basit örnekleridir. İnsanlar bu yüzden onları yüzyıllardır hareket için kullanır. Aynı fikir, daha yüksek boyutlarda da geçerlidir; sadece bunu gözümüzde canlandırmak zordur.
Bu “top” türü şekiller, sabit genişlikli olanlar arasında en büyük hacme sahiptir. Ancak her zaman küçük hacimli olanları bulmak daha ilginçtir. 1980’lerde Oded Schramm şu soruyu sordu: Sabit genişlikli ama en küçük hacimli şekiller nasıl elde edilir? Bu temel soruya uzun süre bir yöntem bulunamadı.
Matematikçiler sonunda yeni bir yöntem geliştirdi. Bu yöntemde, çok sayıda (hatta sonsuz sayıda) küre birbirinin içine geçecek şekilde kesiştiriliyor. Bu kesişimden, sabit genişliğe sahip ama daha küçük hacimli yeni şekiller elde ediliyor. Yöntemin kendisi aslında basit bir fikre dayanıyor.
Reuleaux üçgeni ve genellemesi
Bu çalışma, sabit genişlikli şekilleri her boyutta incelemeye yeni bir yol açıyor. Ama iki ve üç boyutta bu konu zaten uzun zamandır biliniyor.
İki boyutta en önemli örnek Reuleaux üçgenidir. Çizimi de basittir. Önce bir eşkenar üçgen çizersiniz. Sonra üçgenin her köşesini merkez alıp, aynı yarıçapla üç yay çizersiniz. Ortada kalan yuvarlak şekil, çember gibi düzgün yuvarlanır. Ama kapladığı alan çemberden daha küçüktür.
Franz Reuleaux’un soyadı, Belçika kökenli ailesinden; adı ise doğduğu Alman bölgesinden gelir. Viktorya döneminde yeni bir bilim insanı tipini temsil eder: mühendis-bilim insanı. Bu alanda büyük etki yaratmış ve “modern kinematiğin babası” olarak anılmıştır.
Reuleaux, 1875 tarihli “The Kinematics of Machinery” adlı eserinde dönme hareketinin kısıtlarını incelerken bu şekli ortaya koyar. Temel fikir şudur. Bir eğri, iki paralel doğru arasında her yönde aynı mesafeyi koruyorsa, yani genişliği sabitse, düzgün biçimde dönebilir. Çember bu özelliğe sahiptir. Ancak Reuleaux, aynı özelliğe sahip başka şekillerin de oluşturulabileceğini gösterir.
Üç boyutta benzer bir yöntem izlenir. Önce dört eşkenar üçgenden oluşan düzgün bir tetrahedron çizilir. Sonra bu şeklin her köşesine birer küre yerleştirilir. Bu kürelerin kesiştiği bölgede oluşan şekle Reuleaux tetrahedronu denir.
Ancak bu şekil tam olarak sabit genişlikli değildir. Buna çok yaklaşır ama kenarları biraz fazla dışarı taşar. Bu yüzden küçük düzeltmeler yapmak gerekir. Kenarlar hafifçe düzeltilince gerçekten sabit genişlikli bir cisim ortaya çıkar.
Ancak bu tür şekilleri daha yüksek boyutlarda nasıl kuracağımız bilinmiyordu. Basit formüller bu konuda yol göstermiyordu. Yeni çalışma bu noktada genel bir yöntem sunar. İki boyuttaki fikri genelleştirir: Bir çemberi ya da küreyi belirli bir yol boyunca hareket ettirir ve bu hareket sırasında ortaya çıkan tüm konumların ortak kesişimini alırsınız.
Ortada kalan bölge, sabit genişlikli yeni şekli verir. İki boyutta bu işlem, Reuleaux üçgeninin daha genel bir versiyonu olan “Reuleaux tekerleğini” üretir.
Sonuç Olarak
Bu yöntem her boyutta çalışır. Yani uygun bir hareket tanımladığınızda, o boyutta sabit genişlikli bir cisim elde edersiniz. Üstelik yöntem yalnızca şekli üretmekle kalmaz, hacmini hesaplamayı da kolaylaştırır.
Elde edilen bu yeni şekiller, aynı boyuttaki küreye göre daha küçük hacimlidir. Boyut arttıkça hacim hızla azalır. Yani daha yüksek boyutlarda bu şekiller, küreye göre giderek daha “küçük” hâle gelir. Buna rağmen sabit genişlik özelliklerini korudukları için düzgün biçimde yuvarlanmaya devam ederler.
Kaynaklar ve ileri okumalar
- Shape with constant width irrespective of dimensions amazes mathematicians. Yayınlanma tarihi: 21 Haziran 2024. Kaynak site: Bağlantı: Shape with constant width irrespective of dimensions amazes mathematicians
- Arman, Andrii & Bondarenko, Andriy & Nazarov, Fedor & Prymak, Andriy & Radchenko, Danylo. (2024). Small volume bodies of constant width.
- Mathematicians Reinvent the Wheel in Higher. Dimensions to Solve Decades-Old Geometry Problem. yayınlanma tarihi: 7 Ağustos 2024. Kaynak site: Scientific American. Bağlantı: Mathematicians Reinvent the Wheel in Higher. Dimensions to Solve Decades-Old Geometry Problem
